이진 논리와 진법 변환

이진 논리와 진법 변환 - 수의 체계

• 정수
  • 자연수(양의 정수)
  • 0
  • 음의 정수
• 유리수
  • 정수
  • 분수
    • 무한 소수(순환하는)
• 무리수
  • $\sqrt{2},\pi$
  • 순환하지 않는 무한 소수
• 실수
  • 유리수 & 무리수

이진 논리와 진법 변환 - 컴퓨터의 수 체계

• 이진수와 십진수
  • 사람은 10진법으로 수를 표현
  • 컴퓨터는 2진법으로 데이터 표현 및 연산
  • 이진수
    • 0과 1로 이루어진 수
    • $0,1,10,11,100,101,...$
    • 비트(bit)
    • 바이트(byte)
      • 비트가 8개가 연속으로 모인 것
      • $2^8$ = 1 바이트
  • 십진수
    • 0과 9까지의 숫자를 이용해 수 표현
• 8진수와 16진수
  • 데이터의 종류와 크기가 커지면서 2진수에서 확장
  • 8진수
    • 0과 7까지의 숫자를 이용해 수 표현
  • 16진수
    • 0과 9까지의 숫자와 A부터 F까지의 영문자를 이용해 수 표현
    • $10_{(10)}=A_{(16)}$
    • $15_{(10)}=F_{(16)}$
• Q. 연습 문제
  • $1010_2+111_2=$
  • $146_8+75_8=$
  • $5A{3}_{16}+C{F}_{16}=$

이진 논리와 진법 변환 - 진법 변환

• 진법 사이 변환
  • 2 <> 8 <> 16 진법간 변환은 쉽다
  • 8진법
    • 2진법으로 표현 후 뒤에서 3개씩 묶기
    • 3비트가 8가지의 수를 표현
  • 16진법
    • 2진법으로 표현 후 뒤에서 4개씩 묶기
    • 4비트가 16가지의 수를 표현
• Q. 연습 문제
  • 10진수를 2, 8, 16진법으로 표현하시오
  • $7_{10}=$
  • $8_{10}=$
  • $63_{10}=$
  • $64_{10}=$
  • $255_{10}=$
  • $256_{10}=$

이진 논리와 진법 변환 - 거듭제곱과 지수 계산

• 거듭제곱 표현
  • $2\times 2\times 2=2^2=4$
  • $2^4$에서 2를 밑, 4를 지수라고 함
• 거듭제곱 연산
  • $a,b,m,n$을 0이 아닌 자연수라고 하면 다음이 성립
  • $a^0=1$
  • $a^m\times a^n=a^{m+n}$
  • $(a^m{)}^n=a^{mn}$
  • $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}(n>m)$
  • $\frac{a^n}{a^m}=\frac{1}{a^{m-n}}(m>n)$
• Q. 연습 문제
  • $(2^3\times 2^4{)}^5=$
  • $\frac{2^2}{2^5}=$

이진 논리와 진법 변환 - 거듭제곱을 이용한 데이터 계산

• 정보의 최소 단위 비트를 사용
  • 1bit는 2가지 정보를 표현
  • 2bit는 4가지 정보를 표현
  • $...$
• 킬로, 메가, 기가, 테라 표현하기
  • 1 Kilo Byte = 1024 Byte ($2^{10}$)
  • 1 Mega Byte = 1024 Kilo Byte ($2^{20}$)
  • 1 Giga Byte = 1024 Mega Byte ($2^{30}$)
  • 1 Tera Byte = 1024 Giga Byte ($2^{40}$)
• Q. 연습 문제
  • 16bit로 표현할 수 있는 수의 크기 =
  • 16bit의 예를 2진수로 표현하기

이진 논리와 진법 변환 - 컴퓨터에서의 수의 범위를 거듭제곱으로 나타내기

• 

이진 논리와 진법 변환 - 여러 가지 수

소수, 합성수, 소인수, 소인수 분해

• 소수(prime number)
  • 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신뿐인 수
    • 1,234,567,891
    • 2,147,483,647 ($2^{31}-1$)
• 소수(decimal)
  • 정수가 아닌 수 중에서 소수점 아래가 있는 수
  • 0.5
  • 3.141592…
• 합성수
  • 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수
    • 1과 자신외에, 약수를 가지는 수
• 소인수
  • 자연수의 약수 중 소수인 것을 소인수라고 칭함
• 소인수분해
  • 합성수를 그 수의 소인수들만의 곱으로 나타낸 것
  • 방법
    • 나누어떨어지게 하는 소수로 나눈다
    • 몫이 소수가 될때까지 나눈다
    • 나눈 소수들과 마지막 몫을 곱셉 기호($\times$)로 연결
    • 작은 소인수부터 차례대로 쓰고, 같은 소인수의 곱은 거듭제곱으로 표현
    • 예:
      • $60=2\times 30$
      • $=2\times 2\times 15$
      • $=2\times 2\times 3\times 5$
      • $=2^2\times 3\times 5$

몫과 나머지

• 자연수 $a$를 자연수 $b$로 나눌 때, 몫을 $q$, 나머지를 $r$이라고 하면 다음 공식이 성립
  • $a=b\times q+r$ (단, $r$은 $0$이상이고 $b$보다 작다.)

약수와 배수

• 자연수 $a,b,c$에 대하여, $a=b\times c$이면 $b$와 $c$는 $a$의 약수이고, $a$는 $b$와 $c$의 배수
  • 1은 모든 자연수의 약수
  • 모든 자연수는 그 자신의 약수이면서 배수

공약수, 최대공약수, 서로소

• 공약수
  • 두 개 이상의 자연수의 공통인 약수
• 최대공약수
  • 공약수 중에서 가장 큰 것
• 서로소
  • 최대공약수가 1인 두 자연수
• 최대공약수의 성질
  • 두 개 이상의 자연수의 공약수는 그 수들의 최대공약수의 약수
• 최대공약수 구하기
  • 소인수분해
    • 공통인 소인수를 곱하기
    • $60=2^2\times 3\times 5$
    • $54=2\times 3^3$
    • 최대 공약수 $2\times 3$

공배수와 최소공배수

• 공배수
  • 두 개 이상의 자연수의 공통인 배수
    • $2$의 배수 $2,4,6,8,10,12,...$
    • $3$의 배수 $3,6,9,12,...$
    • $2$와 $3$의 공배수는 $6,12,...$
• 최소공배수
  • 공배수 중 가장 작은 것
    • $2$와 $3$의 최소공배수는 $6$
• 최소공배수의 성질
  • 두 개 이상의 자연수의 공배수는 그 수들의 최소공배수의 배수
    • $2$와 $3$의 공배수는 최소공배수인 $6$의 배수 $6,12,18,...$
  • 서로소인 두 자연수의 최소공배수는 두 자연수의 곱
    • $4$와 $7$의 최소공배수 $4\times 7=28$
• 최소공배수 구하기
  • 소인수분해
    • 소인수를 모두 곱한다(지수가 더 큰 것을 곱하기)
    • $60=2^2\times 3\times 5$
    • $54=2\times 3^3$
    • 최대 공배수 $2^2\times 3^3\times 5$

최대공약수와 최소공배수의 관계

• 두 자연수 $A,B$의 최대공약수가 $G$이고, 최소공배수가 $L$이라면
  • $A=a\times G,B=b\times G$ ($a,b$는 서로소)
  • $L=a\times b\times G$
  • $A\times B=L\times G$
• Q. 연습 문제
  • 24와 36의 최대공약수, 최소 공배수를 구하시오

수의 일의 자릿수

• $12$의 일의 자릿수는 $2$
• $12^2$ 의 일의 자릿수는 $144$에서 $4$
  • $12$의 일의 자릿수인 $2$를 제곱하여 $4$를 구할 수 있다
• Q. 연습 문제
  • $169^2$의 1의 자릿수는?
  • $169^3$의 1의 자릿수는?