집합(포함과 배제)

집합 - 집합의 정의

• 조건에 따라 그 대상을 분명히 할 수 있는 것들의 모임
• 명확한 기준에 의해 분류되어 공통된 성질을 가지며 중복되지 않는 원소의 모임

집합 - 집합이 될 수 있는 것과 없는 것

• 집합이 될 수 있는 것
  • 1학년 2반 학생 중에서 키가 150cm 이상인 남학생들의 모임
• 집합이 될 수 없는 것
  • 1학년 2반 학생 중에서 잘생긴 남학생들의 모임
  • (사람의 주관에 따라 서로 다른 의견이 나오는 것은 집합이 될 수 없음)

집합 - 집합의 표기 방식

• 원소 나열법
  • 집합에 포함되는 원소들을 일일이 나열하는 방법
  • $A=\{1,2,3,4,5\}$
• 조건 제시법
  • 집합에 포함된 원소들의 공통적인 성질을 조건식으로 제시하는 방법
  • $A=\{x|0<x<10,x는자연수\}$
    • 읽는 법: 집합 $A$는 $x$바 $x$는 $0$보다 크고 $10$보다 작다, $x$는 자연수
• 벤다이어그램
  • 집합과 원소의 포함관계를 그림으로 보여주는 방법
  • 

집합 - 집합의 종류

• 전체 집합
  • 부분 집합에 대하여, 한 집합의 원소 전체를 이루어지는 집합
• 교집합
  • 임의의 두 집합 $A,B$에 대하여 집합 $A$에도 속하고 집합 $B$에도 속하는 모든 원소의 집합
  • $A\cap B$
  • 
• 합집합
  • 임의의 두 집합 $A,B$에 대하여 집합 $A$ 또는 집합 $B$에 속하는 모든 원소의 집합
  • $A\cup B$
  • 
• 여집합
  • 전체 집합 $U$, 전체 집합의 부분 집합 $A$에 대하여 부분 집합 $A$에 속하지 않는 모든 원소의 집합
  • $U=A+A^c$
  • $A=U-A^c$
  • 
• 차집합
  • 임의의 두 집합 $A,B$에 대하여 집합 $A$에 속하고 집합 $B$에는 속하지 않는 모든 원소의 집합
  • $A-B$
  • 

집합 - 집합의 포함관계

• 상등
  • 두 집합에 속하는 원소가 모두 같을 때
    • $A=B$
• 부분 집합
  • 집합 $A$의 모든 원소가 집합 $B$에 포함되는 경우 $A$는 $B$의 부분집합
    • $A\subset B$
  • $A$가 $B$의 부분집합이 아닐 때
    • $A\not\subset B$
• 원소의 포함 관계
  • 1은 집합 $A$의 원소
    • $1\in A$
  • $a$는 집합 $B$의 원소
    • $a\in B$
  • 1이 $A$의 원소가 아닐 때
    • $1\notin A$

집합 - 집합의 연산

• 합집합과 교집합의 연산
  • 
  • 두 집합 $A=\{1,2,3,4\},B=\{2,3,5,6\}$ 일 때
    • $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$
    • $A\cap B=\{2,3\}$
• 집합의 개수
  • 집합의 개수는 $n(A)$와 같이 나타내며 $A=\{1,2,3\}$의 경우 $n(A)=3$
  • 두 집합의 개수에 대하여 다음이 성립
    • $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
  • 세 집합의 개수에 대하여 다음이 성립
    • $|A\cup B\cup C|=$
      • $+|A|+|B|+|C|$
      • $-(|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|)$
      • $+|A\cap B\cap C|$
    • 
  • 네 집합의 개수에 대하여 다음이 성립
    • 
    • $()-()+()-()$
    • $|A\cup B\cup C\cup D|=$
      • $+(|A|+|B|+|C|+|D|)$
      • $-(|A\cap B|+|A\cap C|+|A\cap D|+|B\cap C|+|B\cap D|+|C\cap D|)$
      • $+(|A\cap B\cap C|+|A\cap B\cap D|+|A\cap C\cap D|+|B\cap C\cap D|)$
      • $-|A\cap B\cap C\cap D|$
• 부분 집합의 개수
  • 집합 $A=\{1,2,3\}$ 이라고 하면, 집합 $A$의 부분 집합은 다음과 같다
    • $\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\},\varphi$
    • $\varphi$(파이)는 공집합으로 $\{\}$으로 표시할 수도 있다. 아무 원소도 가지지 않는 집합이며, 공집합은 모든 집합의 부분 집합
  • 어떤 집합의 원소의 수가 $n$개이면 부분 집합의 개수는 $2^n$개 만큼 있다
• Q1. 다음 각 집합의 원소를 표현하시오
  • 
  • $A\cap B=$
  • $A\cup B=$
  • $A-B=$
  • $B-A=$
  • $A^c=$
  • $B^c=$
  • $n(A\cup B)=$
• Q2. 2023 중등부 1차 1교시 6번